已知函数f(x)=ax^2+4x-2，若对任意x1，x2∈R

1、明显分两种情况：
（1）a＝0，这时为一条直线，代入知不合题意；
（2）a不等于0，这时为抛物线。题设的意思问的就是凸函数（也就是图形向下拱的，当然在大学有更精确的定义，是二次导数大于0）。因此就是a>0。
当然正式的做法不能这样，只能将x1、x2代入一步步来算。
f{(x1+x2)/2}<{f(x1)+f(x2)}/2等价于
a{(x1+x2)/2}^2<a{x1^2+x2^2}/2，
而{(x1+x2)/2}^2<{x1^2+x2^2}/2在x1不等于x2的情况下总是成立的，因此有a>0.
综合（1）、（2）有a>0。

2、本小问对有些朋友来讲有点晦涩，我稍微解释一下。这一问的意思是对于任意一个满足题设的a值，都对应着一个负数M(a)，在〔M(a)，0〕这个区间内的任意一个子区间，都有｜f(x)｜<=4；而对于比M(a)更小的自变量则不能保证这一点，也就是说，在x轴上向左一出〔M(a)，0〕这个闭区间，立马就有｜f(x)｜>4。因此，M(a)其实是a的函数。

首先分析一下题目，尽量挖掘隐含信息。由1问知a>0，所以对称轴－2／a恒小于0，也就是总在y轴左侧；另外，发现函数过一个定点（0，－2）。因此我们可以在草稿纸上大体画出这个函数的草图来（此处略，看官自画）。由于这个问问的是｜f(x)｜<=4，因此最值点必然是要考虑的，最小值为(－2－4／a)。

分析这个图像，由于对称轴位于y轴左侧，抛物线从（0，－2）往左必然要先下降，一直到达它的最小值（当然也是对应着绝对值的极大值）。到这里，反应快的看官马上就有了这样的想法：这个最小值和－4比较谁大谁小。如果大，那么可以继续往左，一直找到某个点，这个点对应的函数值为4，那么它对应的横坐标就是M(a)；如果小，那么M(a)肯定在对称轴右侧。（你们草稿纸的图像上会很清楚，这里说得可能不太明白）

讨论的关键点终于找到了。于是下面的步骤就变得很自然了：

（1）最小值－2－4／a<－4，此时有0<a<2，且M(a)在对称轴右侧，于是解方程f(x